Segitiga Pascal

Pascal terus mempengaruhi matematik sepanjang hidupnya.Karyanya Traité du triangle arithmétique ("Karya berkenaan Segitiga Aritmetik")pada 1653 menggambarkan persembahan tabular yang mudah untuk pekali binomial yang kini dipanggil segitiga Pascal. Segitiga juga boleh diwakili:

	0	1	2	3	4	5	6
0	1	1	1	1	1	1	1
1	1	2	3	4	5	6
2	1	3	6	10	15
3	1	4	10	20
4	1	5	15
5	1	6
6	1

Dia mentakrifkan nombor dalam segitiga dengan rekursi: Memanggil nombor di dalam baris (m + 1) dan (n + 1) lajur tmn. Kemudian tmn = tm–1,n + tm,n–1, untuk m = 0, 1, 2, ... dan n = 0, 1, 2, ... Dengan syarat sempadan adalah tm,−1 = 0, t−1,n = 0 untuk m = 1, 2, 3, ... dan n = 1, 2, 3, ... Penjana t00 = 1. Pascal menyimpulkan dengan bukti,

t m n = ( m + n ) ( m + n − 1 ) ⋯ ( m + 1 ) n ( n − 1 ) ⋯ 1 . {\displaystyle t_{mn}={\frac {(m+n)(m+n-1)\cdots (m+1)}{n(n-1)\cdots 1}}.}

Pada tahun 1654, beliau membuktikan identiti Pascal yang mengaitkan jumlah kuasa-kuasa p-bilangan integer positif pertama iaitu p = 0, 1, 2, ..., k.[7]

Pada tahun 1654, dengan bantuan oleh rakannya, Chevalier de Méré, dia berbincang dengan Pierre de Fermat mengenai subjek masalah perjudian, dan dari kolaborasi itu lahirlah teori kebarangkalian matematik.[8] Masalah khusus ialah dua pemain yang ingin menyelesaikan permainan awal dan, memandangkan keadaan semasa permainan, ingin membahagikan taruhan dengan adil, berdasarkan peluang masing-masing memenangi permainan dari titik itu. Dari perbincangan ini, tanggapan mengenai nilai yang diharapkan telah diperkenalkan. Pascal kemudian (dalam Pensées) menggunakan hujah kebarangkalian, Hujah Pascal, membenarkan kepercayaan kepada Tuhan dan kehidupan yang mulia. Kerja yang dilakukan oleh Fermat dan Pascal ke dalam kalkulus kebarangkalian meletakkan asas penting bagi perumusan kalkulus Leibniz.[9]